Algebra Esempi

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Passaggio 2

Espandi $\ln (5^{x - 2})$ spostando $x - 2$ fuori dal logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ come $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ .

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

Passaggio 4

Espandi $\ln (4^{x + 1})$ spostando $x + 1$ fuori dal logaritmo.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $(x - 2) \ln (5)$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica $- 2 \ln (5)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Passaggio 5.1.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Moltiplica $\ln (4)$ per $1$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.4.1

Somma $\ln (25)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

Passaggio 5.4.2

Somma $\ln (12)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Passaggio 5.5

Scomponi $x$ da $x \ln (5) - x \ln (4)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $x$ da $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $x$ da $- x \ln (4)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 \ln (4)$ come $- \ln (4)$ .

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Passaggio 5.7

Dividi per $\ln (5) - \ln (4)$ ciascun termine in $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ e semplifica.

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Passaggio 5.7.1

Dividi per $\ln (5) - \ln (4)$ ciascun termine in $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5) - \ln (4)$ .

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Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Forma decimale:

$x = 25.56104552 \dots$