Algebra Esempi

$\cos (x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x \geq \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x \geq \frac{π}{4}$

Passaggio 3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 4

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (3) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di $- 0.98999249$ è minore del lato destro di $0.70710678$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (6) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di $0.96017028$ è maggiore del lato destro di $0.70710678$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 9$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci $x$ con $9$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (9) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di $- 0.91113026$ è minore del lato destro di $0.70710678$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Falso

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Vero

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Falso

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Vero

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{7 π}{4} + 2 π n \leq x \leq \frac{9 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10