Algebra Esempi

$y = x^{2}$ , $y = 4$

Passaggio 1

Rappresenta graficamente $y = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Completa il quadrato per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 1.1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{1}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$d = 0$

Passaggio 1.1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{0}{4}$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$e = 0 - 0$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 0 + 0$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$e = 0$

Passaggio 1.1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $x^{2}$ .

$x^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 1.1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 1.1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 1.1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, \frac{1}{4})$

Passaggio 1.1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 1.1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{1}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 1.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1$

Passaggio 1.2.2.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 1.2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il risultato.

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Passaggio 1.2.5.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4$

Passaggio 1.2.5.2

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 1.2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 1.2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica il risultato.

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Passaggio 1.2.8.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1$

Passaggio 1.2.8.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 1.2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{2}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica il risultato.

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Passaggio 1.2.11.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4$

Passaggio 1.2.11.2

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 1.2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 1.2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}$

Passaggio 1.3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente $y = 4$ .

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Passaggio 2.1

Usa l'equazione in forma esplicita di una retta per determinare il coefficiente angolare e l'intercetta di y.

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Passaggio 2.1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 2.1.2

Trova i valori di $m$ e $b$ usando la forma $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = 4$

Passaggio 2.1.3

Il coefficiente angolare della retta è il valore di $m$ e l'intercetta di y è il valore di $b$ .

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, 4)$

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, 4)$

Passaggio 2.2

Trova due punti sulla retta.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 4 \end{array}$

Passaggio 2.3

Rappresenta graficamente la retta usando il coefficiente angolare, l'intercetta di y e due punti.

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, 4)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 4 \end{array}$

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, 4)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 4 \end{array}$

Passaggio 3

Traccia ogni grafico sul medesimo sistema di coordinate.

$y = x^{2}$

$y = 4$

Passaggio 4