Algebra Esempi

$f (x) = x {(x + 5)}^{2} (x + 3)$

Passaggio 1

Identifica il grado della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica e riordina il polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.5.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.5.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 1.1.5.3

Sposta $25$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Passaggio 1.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Passaggio 1.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Passaggio 1.1.7

Espandi $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.4

Moltiplica $3$ per $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.5.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Passaggio 1.1.8.1.6

Moltiplica $3$ per $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Passaggio 1.1.8.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.2.1

Somma $3 x^{3}$ e $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Passaggio 1.1.8.2.2

Somma $30 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Passaggio 1.2

L'esponente maggiore è il grado del polinomio.

$4$

Passaggio 2

Poiché il grado è pari, le estremità della funzione saranno dirette nella stessa direzione.

Pari

Passaggio 3

Identifica il coefficiente direttivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il polinomio, quindi riordinalo da sinistra a destra iniziando dal termine di grado maggiore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Passaggio 3.1.2

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Passaggio 3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Passaggio 3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Passaggio 3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Passaggio 3.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.5.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.5.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Passaggio 3.1.5.3

Sposta $25$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Sposta $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Passaggio 3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Passaggio 3.1.7

Espandi $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.4

Moltiplica $3$ per $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1.5.1

Sposta $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Passaggio 3.1.8.1.6

Moltiplica $3$ per $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Passaggio 3.1.8.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.2.1

Somma $3 x^{3}$ e $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Passaggio 3.1.8.2.2

Somma $30 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Passaggio 3.2

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{4}$

Passaggio 3.3

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$1$

Passaggio 4

Poiché il coefficiente direttivo è positivo, il grafico sale verso destra.

Positivo

Passaggio 5

Usa il grado della funzione e il segno del coefficiente direttivo per determinare il comportamento.

1. Pari e positivo: sale verso sinistra e verso destra.

2. Pari e negativo: scende verso sinistra e verso destra.

3. Dispari e positivo: scende verso sinistra e sale verso destra.

4. Dispari e negativo: sale verso sinistra e scende verso destra.

Passaggio 6

Determina il comportamento.

Sale verso sinistra e sale verso destra

Passaggio 7