Algebra Esempi

$y = x e^{- x^{2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $x e^{- x^{2}}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} x e^{- x^{2}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $x e^{- x^{2}}$ come $\frac{x}{e^{x^{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Passaggio 3.2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Passaggio 3.2.1.3

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Passaggio 3.2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.2.3.5.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Passaggio 3.2.3.5.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Passaggio 3.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7