Algebra Esempi

$x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$

Passaggio 1

Scomponi $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Passaggio 1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{4} - 6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 6 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 6$ per $8$ .

$16 - 48 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $48$ da $16$ .

$- 32 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 32 - 3 \cdot 4 + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$- 32 - 12 + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $12$ da $- 32$ .

$- 44 + 52 \cdot 2 - 60$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $52$ per $2$ .

$- 44 + 104 - 60$

Passaggio 1.3.10

Somma $- 44$ e $104$ .

$60 - 60$

Passaggio 1.3.11

Sottrai $60$ da $60$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{3}$
	$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			+	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - 2 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{3} + 8 x^{2}$

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 11 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 11 x^{2} + 22 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

$60$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $30 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

$60$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									+	$30 x$	-	$60$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $30 x - 60$

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									-	$30 x$	+	$60$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									-	$30 x$	+	$60$
												$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Passaggio 2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $16$ da $8$ .

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 11$ per $2$ .

$- 8 - 22 + 30$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $22$ da $- 8$ .

$- 30 + 30$

Passaggio 2.3.8

Somma $- 30$ e $30$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x + 30$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ come insieme di fattori.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 15))$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 2) ((x - 2) ((x - 5) (x + 3)))$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) ((x - 2) (x - 5) (x + 3))$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) (x - 2) (x - 5) (x + 3)$

Passaggio 4

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) (x - 5) (x + 3)$

Passaggio 4.2

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x - 5) (x + 3)$

Passaggio 4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5) (x + 3)$

Passaggio 4.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 5) (x + 3)$