Algebra Esempi

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione ${(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Passaggio 3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Passaggio 3.2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ come $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3.3

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ come $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.5.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.5.2.1

Dividi $1 + 0$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.2.5.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.5.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.4

Moltiplica $\frac{x}{x + 1}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.5

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.10

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.13

Moltiplica $\frac{x}{x + 1}$ per $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.14.1

Scomponi $x$ da $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.14.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.14.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.15.3.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.3.2

Sottrai $1 \cdot 1$ da $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.15.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.4.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.5

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.15.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.5.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.15.5.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 3.5.3.16

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 3.5.3.17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 3.5.3.18

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x (x + 1)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Passaggio 3.5.5.3

$\frac{1}{x (x + 1)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Passaggio 3.5.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Passaggio 3.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Passaggio 3.5.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

Passaggio 3.6

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.7.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Passaggio 3.9.2

Dividi $1$ per $1$ .

$e^{1}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

$e$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = e$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = e$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7