Algebra Esempi

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Passaggio 1.1.2

$\frac{3}{4}$ e $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Passaggio 1.1.3

$\frac{3}{4}$ e $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

Passaggio 2

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ per $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $4$ alla sinistra di $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ nel numeratore.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $4 \log_{5} (3 k + 12)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $3 \log_{5} (405)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

Passaggio 4.1.2

Eleva $405$ alla potenza di $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

Passaggio 4.1.3

Il logaritmo in base $5$ di $5$ è $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

Passaggio 6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $3$ da $3 k + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $3$ da $3 k$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $3$ da $12$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $3$ da $3 k + 3 \cdot 4$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

Passaggio 7.2

Applica la regola del prodotto a $3 (k + 4)$ .

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Passaggio 7.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $81$ e $66430125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $81$ da $81 {(k + 4)}^{4}$ .

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

Passaggio 8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $81$ da $66430125$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

Passaggio 9

Riscrivi $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

Passaggio 10

Risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ .

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

Passaggio 10.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Passaggio 10.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.1

Elimina il fattore comune di $820125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Passaggio 10.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.3.1

Scomponi $125$ da $820125$ .

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

Passaggio 10.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

Passaggio 10.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

Passaggio 10.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

Passaggio 10.5

Semplifica $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $6561$ come $9^{4}$ .

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Passaggio 10.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$k + 4 = \pm 9$

Passaggio 10.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$k + 4 = 9$

Passaggio 10.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $k$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.6.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$k = 9 - 4$

Passaggio 10.6.2.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$k = 5$

Passaggio 10.6.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$k + 4 = - 9$

Passaggio 10.6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $k$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$k = - 9 - 4$

Passaggio 10.6.4.2

Sottrai $4$ da $- 9$ .

$k = - 13$

Passaggio 10.6.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$k = 5, - 13$

Passaggio 11

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ vera.

$k = 5$