Algebra Esempi

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ per $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ per $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

Passaggio 2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Espandi $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- \sqrt{5}$ per $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.2.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

Passaggio 3.2.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

Passaggio 3.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

Passaggio 3.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

Passaggio 3.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Passaggio 3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Passaggio 3.2.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

Passaggio 3.2.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $\sqrt{5}$ da $0$ .

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Passaggio 3.2.4

Somma $- \sqrt{5}$ e $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $4$ e $20$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Forma decimale:

$0.44721359 \dots$