Algebra Esempi

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\arcsin (\sin (x))$ in modo che sia maggiore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sin (x) \geq - 1$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x \geq \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Passaggio 2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (8) \geq - 1$

Passaggio 2.10.1.3

Il lato sinistro di $0.98935824$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.10.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vero

Passaggio 2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in $\arcsin (\sin (x))$ in modo che sia minore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sin (x) \leq 1$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x \leq \arcsin (1)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Passaggio 4.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Passaggio 4.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 4.8.1.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (5) \leq 1$

Passaggio 4.8.1.3

Il lato sinistro di $- 0.95892427$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.8.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vero

Passaggio 4.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notazione intensiva:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Passaggio 7

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Intervallo: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Passaggio 8