Algebra Esempi

$\cos (θ) < 0$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ < \arccos (0)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

Passaggio 3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 3$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $θ$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (3) < 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 0.98999249$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$θ = 6$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $θ$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (6) < 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0.96017028$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11