Algebra Esempi

$\sin (3 x) = 1$ , $0 \leq x < 2 π$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arcsin (1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$3 x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 5.1.4.2

Sottrai $π$ da $2 \cdot π$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\sin (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Trova i valori di $n$ che producono un valore nell'intervallo $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Passaggio 8.1.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Passaggio 8.1.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Passaggio 8.1.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Passaggio 8.1.2.1.1.2.4

Dividi $2 π \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Passaggio 8.1.2.1.2

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Passaggio 8.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Passaggio 8.1.2.2

Somma $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{π}{6}$

Passaggio 8.1.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 8.2

Collega $1$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Collega $1$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.2.2.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Passaggio 8.2.2.5.2

Somma $π$ e $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Passaggio 8.2.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 8.3

Collega $2$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Collega $2$ per $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 8.3.2.2

Per scrivere $\frac{4 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{4 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Passaggio 8.3.2.5.2

Somma $π$ e $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Passaggio 8.3.2.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Passaggio 8.3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Passaggio 8.3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.3.3

L'intervallo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$