Algebra Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ come un'equazione.

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ .

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5^{y}}$ come $5^{\frac{y}{3}}$ .

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 9)}^{3}$ .

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Passaggio 3.4.3.1.1

Usa il teorema binomiale.

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.3.1.2.1

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Moltiplica $81$ per $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Passaggio 3.5.2

Espandi $\ln (5^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

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Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $243$ per $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.2.3.2

Sottrai $729$ da $2187$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

Passaggio 5.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

Passaggio 5.3.3.3

Rendi ogni termine uguale ai termini dalla formula del teorema binomiale.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

Passaggio 5.3.3.4

Fattorizza $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ usando il teorema dei binomi.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

Passaggio 5.3.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 9 + 9$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 9$ e $9$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$