Algebra Esempi

$\frac{m - 3 n}{m^{3} - n^{3}} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = n$ e $b = m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(n - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $- 1$ da $n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 1$ da $- m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - (m)) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (- n + m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Passaggio 2.4

Riordina.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{m \cdot - 1 - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $m$ .

$\frac{- 1 \cdot m - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $- 1 m$ come $- m$ .

$\frac{- m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 6.5

Sottrai $2 n$ da $3 n$ .

$\frac{- m + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $- m + n$ e $m - n$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- m$ .

$\frac{- (m) + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $- 1$ da $n$ .

$\frac{- (m) - 1 (- n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (m) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $- (m - n)$ come $- 1 (m - n)$ .

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7.1.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7.1.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{- (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Passaggio 7.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{1}{m^{2} + n^{2} + m n}$