Algebra Esempi

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Passaggio 4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

Passaggio 6.3

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica $2 (- \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

$- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Passaggio 6.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

Passaggio 6.7.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.7.2.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.7.2.3

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 6.7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 6.7.2.5.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.7.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.7.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.7.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.7.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.4.2.1

Moltiplica $2 \frac{5 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.4.2.1.1

$2$ e $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Passaggio 6.7.4.2.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Passaggio 6.8

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 6.8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 6.8.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 6.9

Somma $4 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Somma $4 π$ a $- \frac{2 π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Passaggio 6.9.2

Per scrivere $4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.3.1

$4 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 6.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.4.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Passaggio 6.9.4.2

Sottrai $2 π$ da $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Passaggio 6.9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{10 π}{3}$

Passaggio 6.10

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Passaggio 7.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.3.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.3.3

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 7.3.5.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Moltiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Passaggio 7.5.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.6

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

Passaggio 7.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Passaggio 7.7.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.7.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.7.2.3

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 7.7.2.5.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.7.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.7.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.7.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.7.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.2.1

Moltiplica $2 \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.2.1.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Passaggio 7.7.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.8

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 7.8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 7.8.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 7.9

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$