Algebra Esempi

$x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + 2 x + 2$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + 2 x + 2$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + 2 x + 2$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + 2 x + 2$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 x + 2$

Passaggio 5

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x) + 2$

Passaggio 5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x) + 2 (1)$

Passaggio 5.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1)$

Passaggio 6

Scomponi $x + 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $x + 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 2 (x + 1)$

Passaggio 6.2

Scomponi $x + 1$ da $2 (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) \cdot 2$

Passaggio 6.3

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) \cdot 2$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 2)$

Passaggio 7

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Passaggio 8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 8.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Passaggio 8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Passaggio 8.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 2)$

Passaggio 9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 2)$

Passaggio 10

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 2)$

Passaggio 11

Scomponi.

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Passaggio 11.1

Scomponi $x^{3} - x^{2} + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 11.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 11.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 11.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 11.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 11.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 11.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Passaggio 11.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Passaggio 11.1.3.5

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 11.1.3.6

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 11.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Passaggio 11.1.5

Dividi $x^{3} - x^{2} + 2$ per $x + 1$ .

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Passaggio 11.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 11.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Passaggio 11.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 11.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 11.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 11.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 11.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 11.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 11.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 11.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Passaggio 11.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 11.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 11.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 11.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 11.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 11.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 2$

Passaggio 11.1.6

Scrivi $x^{3} - x^{2} + 2$ come insieme di fattori.

$(x + 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2))$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)$

Passaggio 12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

${(x + 1)}^{1} (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)$

Passaggio 12.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

${(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x^{2} - 2 x + 2)$

Passaggio 12.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x^{2} - 2 x + 2)$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 2)$