Algebra Esempi

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ come un'equazione.

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ .

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $3^{2 y}$ per $1$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi $- 4$ per $2$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

Passaggio 3.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Passaggio 3.5

Espandi $\ln (3^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Passaggio 3.6

Dividi per $2 \ln (3)$ ciascun termine in $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Dividi per $2 \ln (3)$ ciascun termine in $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ .

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ e $2$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3^{2 x}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $2$ da $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.3.4.4

Dividi $3^{2 x} + 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $3^{2 x} + 2 - 2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $3^{2 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica $2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

Passaggio 5.2.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Passaggio 5.3.3.1.2

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Passaggio 5.3.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Passaggio 5.3.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica $2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

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Passaggio 5.3.3.4.1

$2$ e $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

Passaggio 5.3.3.4.2

Semplifica $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 4}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

Passaggio 5.3.3.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$