Algebra Esempi

$\frac{4 x^{2} + 23 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ e la cui somma è $b = 23$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $23$ da $23 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 23 (x) + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $23$ come $3$ più $20$ .

$\frac{4 x^{2} + (3 + 20) x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 3 x + 20 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(4 x^{2} + 3 x) + 20 x + 15}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (4 x + 3) + 5 (4 x + 3)}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{{(4 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{{(4 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ e la cui somma è $b = 9$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + 9 (x) - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $9$ come $- 3$ più $12$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} + (- 3 + 12) x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{4 x^{2} - 3 x + 12 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x^{2} - 3 x) + 12 x - 9}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Passaggio 4

Scomponi $x^{2} + 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(4 x + 3) (x + 5)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x + 5$ da $(4 x + 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 5)}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $x + 5$ da $(x - 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 5) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 3)}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x + 3}{(4 x + 3) (4 x - 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $4 x - 3$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $4 x - 3$ da $(4 x + 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{4 x + 3}{(4 x - 3) (4 x + 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x + 3}{(4 x - 3) (4 x + 3)} \cdot \frac{(4 x - 3) (x + 3)}{x - 3}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x + 3}{4 x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 3}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ per $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

$\frac{(4 x + 3) (x + 3)}{(4 x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $4 x + 3$ .

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Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x + 3) (x + 3)}{(4 x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 3}{x - 3}$