Algebra Esempi

$\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1^{x}}{8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.3

Combina.

$\frac{1 \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.4

Moltiplica $1$ per $1^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1^{1} \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1^{1 + x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.6.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 2^{3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 2

Semplifica ${(\frac{1}{4})}^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1^{x}}{4^{x}}$

Passaggio 2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1}{4^{x}}$

Passaggio 3

Sottrai $\frac{1}{4^{x}}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} - \frac{1}{4^{x}} \leq 0$

Passaggio 4

Sposta $- \frac{1}{4^{x}}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} = \frac{1}{4^{x}}$

Passaggio 5

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Passaggio 6

Riscrivi $\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}})$ come $\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x})$ .

$\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Passaggio 7

Espandi $\ln (2^{4 + 3 x})$ spostando $4 + 3 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (1) - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Passaggio 8

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Passaggio 9

Sottrai $(4 + 3 x) \ln (2)$ da $0$ .

$- ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Passaggio 10

Rimuovi le parentesi.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Passaggio 11

Riscrivi $\ln (\frac{1}{4^{x}})$ come $\ln (1) - \ln (4^{x})$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - \ln (4^{x})$

Passaggio 12

Espandi $\ln (4^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - (x \ln (4))$

Passaggio 13

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = 0 - (x \ln (4))$

Passaggio 14

Sottrai $x \ln (4)$ da $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - (x \ln (4))$

Passaggio 15

Rimuovi le parentesi.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica $- (4 + 3 x) \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 - (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- 1 \cdot 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16.1.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(- 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16.1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- 4 - 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) = - x \ln (4)$

Passaggio 16.2

Somma $x \ln (4)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 0$

Passaggio 16.3

Somma $4 \ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Passaggio 16.4

Scomponi $x$ da $- 3 x \ln (2) + x \ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scomponi $x$ da $- 3 x \ln (2)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Passaggio 16.4.2

Scomponi $x$ da $x \ln (4)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4)) = 4 \ln (2)$

Passaggio 16.4.3

Scomponi $x$ da $x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4))$ .

$x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$

Passaggio 16.5

Dividi per $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ ciascun termine in $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Dividi per $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ ciascun termine in $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ .

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Passaggio 16.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Passaggio 16.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Passaggio 16.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) + \ln (4)}$

Passaggio 16.5.3.2

Scomponi $- 1$ da $\ln (4)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))}$

Passaggio 16.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Passaggio 16.5.3.4

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.3.4.1

Riscrivi $- (3 \ln (2) - \ln (4))$ come $- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Passaggio 16.5.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}, \infty)$

Passaggio 19