Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $0$ a $y$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $- 20$ più $21$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 21 x - 20$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $x - 1$ da $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Scomponi $x - 1$ da $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Scomponi $x - 1$ da $(- 21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.3

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

Passaggio 1.2.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1

Riscrivi $x^{3} - 21 x - 20$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1.1

Scomponi $x^{3} - 21 x - 20$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.2.2.4.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.3.3

Moltiplica $- 21$ per $- 1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.3.4

Somma $- 1$ e $21$ .

$20 - 20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.3.5

Sottrai $20$ da $20$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5

Dividi $x^{3} - 21 x - 20$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x - 20$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 20$

Passaggio 1.2.2.4.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 21 x - 20$ come insieme di fattori.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Passaggio 1.2.2.4.1.2

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 5, 4$

Passaggio 1.2.2.4.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Passaggio 1.2.2.4.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 1, - 1, 5, - 4$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $0$ con $x$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.4

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.5

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6

Semplifica ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.1.5

Moltiplica $- 21$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 20$

Passaggio 2.2.6.2.4

Somma $0$ e $20$ .

$y = 20$

Passaggio 2.3

intercetta/e di y in forma punto.

Intercetta/e di y: $(0, 20)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Intercetta/e di y: $(0, 20)$

Passaggio 4