Algebra Esempi

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ spostando $x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{1}{27})$ come $\ln (1) - \ln (27)$ .

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (27)$ come $\ln (3^{3})$ .

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 6

Espandi $\ln (3^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 8

Sottrai $3 \ln (3)$ da $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 9

Riscrivi $\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ come $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 10

Espandi $\ln (9^{3 x + 8})$ spostando $3 x + 8$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Passaggio 11

Espandi $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ spostando $x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

Passaggio 12

Riscrivi $\ln (\frac{1}{81})$ come $\ln (1) - \ln (81)$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

Passaggio 13

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

Passaggio 14

Riscrivi $\ln (81)$ come $\ln (3^{4})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

Passaggio 15

Espandi $\ln (3^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

Passaggio 16

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

Passaggio 17

Sottrai $4 \ln (3)$ da $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Semplifica $x^{2} (- 3 \ln (3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1.1

Semplifica $- 3 \ln (3)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.1.1.3

Riordina i fattori in $x^{2} (- \ln (27))$ .

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica $(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.2.1.1.2

Semplifica $3 \ln (9)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.2.1.1.3

Semplifica $8 \ln (9)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.2.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1.4.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.2.1.1.4.2

Eleva $9$ alla potenza di $8$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Passaggio 18.2.1.1.5

Semplifica $- 4 \ln (3)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

Passaggio 18.2.1.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

Passaggio 18.2.1.2

Riordina i fattori in $x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

Passaggio 18.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

Passaggio 18.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 18.5

Sostituisci i valori $a = - \ln (27) + \ln (81)$ , $b = - \ln (729)$ e $c = - \ln (43046721)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.3

Moltiplica $\ln^{2} (729)$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.8

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.6.9

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Passaggio 18.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

Forma decimale:

$x = 8, - 2$