Algebra Esempi

$y = - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{3} x)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{π}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il periodo di $- \frac{\cos (\frac{π x}{3})}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{π}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{π}{3}$ corrisponde approssimativamente a $1.04719755$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{3}{π}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 3$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{\frac{π}{3}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $0 (\frac{3}{π})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{π}$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Periodo: $6$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{π (0)}{3})}{2}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $π (0)$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (0))}{3})}{2}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (0))}{3 (1)})}{2}$

Passaggio 6.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (0))}{3 \cdot 1})}{2}$

Passaggio 6.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = - \frac{\cos (\frac{π \cdot (0)}{1})}{2}$

Passaggio 6.1.2.1.2.4

Dividi $π \cdot (0)$ per $1$ .

$f (0) = - \frac{\cos (π \cdot (0))}{2}$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$f (0) = - \frac{\cos (0)}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π (\frac{3}{2})}{3})}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{π \cdot 3}{2}}{3})}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 6.2.2.3.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 0$

Passaggio 6.2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - \frac{\cos (\frac{π (3)}{3})}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (3) = - \frac{\cos (\frac{π \cdot 3}{3})}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (3) = - \frac{\cos (π)}{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (3) = - \frac{- \cos (0)}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (3) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (3) = - \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (3) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{9}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π (\frac{9}{2})}{3})}{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

$π$ e $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{π \cdot 9}{2}}{3})}{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Sposta $9$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{2}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 6.4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 6.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 6.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 6.4.2.3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

Passaggio 6.4.2.3.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - 0$

Passaggio 6.4.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{9}{2}) = 0$

Passaggio 6.4.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{π (6)}{3})}{2}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Scomponi $3$ da $π (6)$ .

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (2))}{3})}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (2))}{3 (1)})}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{3 (π \cdot (2))}{3 \cdot 1})}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (6) = - \frac{\cos (\frac{π \cdot (2)}{1})}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2.4

Dividi $π \cdot (2)$ per $1$ .

$f (6) = - \frac{\cos (π \cdot (2))}{2}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (6) = - \frac{\cos (2 \cdot π)}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (6) = - \frac{\cos (0)}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (6) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{2} & 0 \\ 6 & - \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Periodo: $6$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{9}{2} & 0 \\ 6 & - \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 8