Algebra Esempi

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Scomponi $5$ da $10 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $5$ da $10 x$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3

Scomponi $5$ da $5 (2 x) + 5 (1)$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3

Eleva $\sqrt{x + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6

Riscrivi ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ come $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.5

Semplifica.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Riscrivi $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

Passaggio 8

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Passaggio 9

Semplifica $9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

Passaggio 9.3

Calcola l'esponente.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

Passaggio 9.4

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 9.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

Passaggio 10

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

Passaggio 11

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

Passaggio 12

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ come ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.3.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.1.3.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.2

Espandi $(10 x + 5) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.3.1.2

Moltiplica $10$ per $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.3.2

Somma $10 x$ e $5 x$ .

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.2.1.4

Semplifica.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

Passaggio 13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Semplifica ${(3 + 3 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.1

Riscrivi ${(3 + 3 x)}^{2}$ come $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

Passaggio 13.3.1.2

Espandi $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Passaggio 13.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Passaggio 13.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Passaggio 13.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Passaggio 13.3.1.3.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Passaggio 13.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

Passaggio 13.3.1.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Passaggio 13.3.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Passaggio 13.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Passaggio 13.3.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

Passaggio 13.3.1.3.2

Somma $9 x$ e $9 x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Sottrai $18 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

Passaggio 14.1.2

Sottrai $9 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

Passaggio 14.1.3

Sottrai $9 x^{2}$ da $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

Passaggio 14.1.4

Sottrai $18 x$ da $15 x$ .

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

Passaggio 14.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

Passaggio 14.3

Sottrai $9$ da $5$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Passaggio 14.4

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 14.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 14.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 14.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 14.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 14.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 14.7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 14.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 14.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 4, - 1$

Passaggio 15

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ vera.

$x = 4$