Algebra Esempi

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\cos^{2} (x) (\cos (x) - 2) - (\cos (x) - 2) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $\cos (x) - 2$ .

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = 1$ .

$(\cos (x) - 2) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cos (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\cos (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 2$

Passaggio 3.2.2

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $2$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Imposta $\cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.2.5

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 5.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$