Algebra Esempi

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

Passaggio 3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})))$

Passaggio 3.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 3.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 5

Moltiplica $5 (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 5.2

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$5$ e $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (\frac{- 5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2})$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7

Espandi $(1 + i \sqrt{3}) (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2}) + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 (- \frac{5}{2}) + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 (- \frac{5}{2}) + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- \frac{5}{2}$ per $1$ .

$- \frac{5}{2} + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $\frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $i \sqrt{3} (- \frac{5}{2})$ .

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Passaggio 8.1.3.1

$i$ e $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i \cdot 5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.1.3.2

$\sqrt{3}$ e $\frac{i \cdot 5}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} (i \cdot 5)}{2} + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.1.4

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{3} i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 8.1.5.1

$\frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ e $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i \sqrt{3} i}{2} \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.5.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 (i^{1} i) \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.5.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{1 + 1} \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.5.6

$\frac{5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$ e $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.1.5.7

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 8.1.5.8

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

Passaggio 8.1.5.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Passaggio 8.1.5.10

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Passaggio 8.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.6.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Passaggio 8.1.6.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 8.1.6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 8.1.6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 8.1.6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 8.1.6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

Passaggio 8.1.6.2.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

Passaggio 8.1.6.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 8.1.6.3.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

Passaggio 8.1.6.3.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

Passaggio 8.1.6.3.3

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 15}{2}$

Passaggio 8.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} - \frac{15}{2}$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$

Passaggio 8.3

Sottrai $15$ da $- 5$ .

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 20 + 5 i \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} i}{2}$

Passaggio 10

Riordina i fattori di $- 5 \sqrt{3} i$ .

$\frac{- 20 + 5 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11

Sottrai $5 i \sqrt{3}$ da $5 i \sqrt{3}$ .

$\frac{- 20 + 0}{2}$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- 20$ e $0$ .

$\frac{- 20}{2}$

Passaggio 12.2

Dividi $- 20$ per $2$ .

$- 10$