Algebra Esempi

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

Passaggio 1

La funzione $F (x)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x - 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$u^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

Passaggio 8

La funzione $F$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$