Algebra Esempi

$x^{3} + 2 x - 1 = 2$

Passaggio 1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 = 0$

Passaggio 2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 3 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $x^{3} + 2 x - 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3$

Passaggio 3.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 2 \cdot 1 - 3$

Passaggio 3.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + 2 - 3$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$3 - 3$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $3$ da $3$ .

$0$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 2 x - 3}{x - 1}$

Passaggio 3.5

Dividi $x^{3} + 2 x - 3$ per $x - 1$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x - 3$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Passaggio 3.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x + 3$

Passaggio 3.6

Scrivi $x^{3} + 2 x - 3$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} + x + 3) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 3 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} + x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} + x + 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} + x + 3 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} + x + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x^{2} + x + 3) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$