Algebra Esempi

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{5}{a + b}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = a$ e $b = b$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{3 x}{a - b}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(a + b) (a - b)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{3 x}{a - b}$ per $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $x$ da $x + 3 x (a + b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.5.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $x$ da $3 x (a + b)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.5.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ .

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- \frac{5}{a + b}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{5}{a + b}$ per $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.9.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.9.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 2.9.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

Passaggio 3

Moltiplica ogni lato per $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $(a + b) (a - b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Passaggio 4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Passaggio 4.1.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Sposta $x$ .

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Passaggio 4.1.1.2.2

Sposta $x$ .

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Passaggio 4.1.1.2.3

Sposta $x$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $0 ((a + b) (a - b))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Espandi $(a + b) (a - b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

Passaggio 4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Combina i termini opposti in $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $a (- b)$ e $b a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Somma $- a b$ e $a b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

Passaggio 4.2.1.2.1.3

Somma $a \cdot a$ e $0$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

Passaggio 4.2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

Passaggio 4.2.1.2.2.3

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.3.1

Sposta $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

Passaggio 4.2.1.2.2.3.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $a^{2} - b^{2}$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Aggiungi $5 a$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $5 b$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.2

Scomponi $x$ da $3 a x + 3 b x + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $3 a x$ .

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x$ da $3 b x$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $x$ da $x (3 a) + x (3 b)$ .

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.2.6

Scomponi $x$ da $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ .

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

Passaggio 5.3

Dividi per $3 a + 3 b + 1$ ciascun termine in $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $3 a + 3 b + 1$ ciascun termine in $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ .

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3 a + 3 b + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $5$ da $5 a - 5 b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 a$ .

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $5$ da $- 5 b$ .

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $5$ da $5 (a) + 5 (- b)$ .

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$