Algebra Esempi

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

Passaggio 1.2

Sottrai $y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

Passaggio 1.3

Somma $27$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.4.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Passaggio 1.4.2.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.5

Moltiplica $9$ per $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.6

Somma $- 27$ e $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.7

Moltiplica $- 27$ per $3$ .

$54 - 81 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.8

Sottrai $81$ da $54$ .

$- 27 + 27$

Passaggio 1.4.2.3.9

Somma $- 27$ e $27$ .

$0$

Passaggio 1.4.2.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $y - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

Passaggio 1.4.2.5

Dividi $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ per $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

Passaggio 1.4.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- y^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

Passaggio 1.4.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Passaggio 1.4.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- y^{3} + 3 y^{2}$

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Passaggio 1.4.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

Passaggio 1.4.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Passaggio 1.4.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Passaggio 1.4.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

Passaggio 1.4.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 y^{2} - 18 y$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

Passaggio 1.4.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

Passaggio 1.4.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Passaggio 1.4.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Passaggio 1.4.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

Passaggio 1.4.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 y + 27$

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

Passaggio 1.4.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

Passaggio 1.4.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- y^{2} + 6 y - 9$

Passaggio 1.4.2.6

Scrivi $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ come insieme di fattori.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

Passaggio 1.4.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ e la cui somma è $b = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.1.1

Scomponi $6$ da $6 y$ .

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

Passaggio 1.4.3.1.1.2

Riscrivi $6$ come $3$ più $3$ .

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

Passaggio 1.4.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

Passaggio 1.4.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

Passaggio 1.4.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

Passaggio 1.4.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

Passaggio 1.4.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- y) - 1 (3)$ .

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.4

Eleva $- y + 3$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.5

Eleva $- y + 3$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.8

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.9

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.10

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.11

Riscrivi $- (y - 3)$ come $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.12

Applica la regola del prodotto a $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.14

Moltiplica ${(y - 3)}^{2}$ per $1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Passaggio 1.4.4.15

Eleva $y - 3$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

Passaggio 1.4.4.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

Passaggio 1.4.4.17

Somma $1$ e $2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

Passaggio 1.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.5.2.2

Dividi ${(y - 3)}^{3}$ per $1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

Passaggio 1.6

Poni $y - 3$ uguale a $0$ .

$y - 3 = 0$

Passaggio 1.7

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3$

Passaggio 2

Imposta $9 y^{2} - 27 y$ uguale a $0$ .

$3 = 0$

Passaggio 3

Poiché $3 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione