Algebra Esempi

$\log (3 x - 1) > \log (4 - x)$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log (3 x - 1) = \log (4 - x)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$3 x - 1 = 4 - x$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x - 1 + x = 4$

Passaggio 2.2.1.2

Somma $3 x$ e $x$ .

$4 x - 1 = 4$

Passaggio 2.2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 4 + 1$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$4 x = 5$

Passaggio 2.2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 2.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log (\frac{3 x - 1}{4 - x})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{3 x - 1}{4 - x} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x - 1 = 0$

$4 - x = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 3.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 3.2.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 4$

Passaggio 3.2.7

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{1}{3}, 4$

Passaggio 3.2.8

Trova il dominio di $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - x = 0$

Passaggio 3.2.8.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 3.2.8.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.8.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.8.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 3.2.8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 3.2.9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 3.2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (0) - 1}{4 - (0)} > 0$

Passaggio 3.2.10.1.3

Il lato sinistro di $- 0.25$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.10.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 3.2.10.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (2) - 1}{4 - (2)} > 0$

Passaggio 3.2.10.2.3

Il lato sinistro di $2.5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 3.2.10.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (6) - 1}{4 - (6)} > 0$

Passaggio 3.2.10.3.3

Il lato sinistro di $- 8.5$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 3.2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{1}{3} < x < 4$

Passaggio 3.3

Imposta il denominatore in $\frac{3 x - 1}{4 - x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - x = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(\frac{1}{3}, 4)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\log (3 (0) - 1) > \log (4 - (0))$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\log (3 (1) - 1) > \log (4 - (1))$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $0.30102999$ non è maggiore del lato destro di $0.47712125$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5}{4} < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5}{4} < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\log (3 (3) - 1) > \log (4 - (3))$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $0.90308998$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log (3 (6) - 1) > \log (4 - (6))$

Passaggio 5.4.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.4.3.2

Il lato destro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Falso

$\frac{5}{4} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < \frac{1}{3}$ Falso

$\frac{1}{3} < x < \frac{5}{4}$ Falso

$\frac{5}{4} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{5}{4} < x < 4$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$\frac{5}{4} < x < 4$

Notazione degli intervalli:

$(\frac{5}{4}, 4)$

Passaggio 8