Algebra Esempi

$5 x^{2} + 25 x + 8 \leq 4 x + 4$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$5 x^{2} + 25 x + 8 - 4 x \leq 4$

Passaggio 1.2

Sottrai $4 x$ da $25 x$ .

$5 x^{2} + 21 x + 8 \leq 4$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$5 x^{2} + 21 x + 8 = 4$

Passaggio 3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} + 21 x + 8 - 4 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $4$ da $8$ .

$5 x^{2} + 21 x + 4 = 0$

Passaggio 5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ e la cui somma è $b = 21$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $21$ da $21 x$ .

$5 x^{2} + 21 (x) + 4 = 0$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $21$ come $1$ più $20$ .

$5 x^{2} + (1 + 20) x + 4 = 0$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 1 x + 20 x + 4 = 0$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x^{2} + x + 20 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 x^{2} + x) + 20 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (5 x + 1) + 4 (5 x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x + 1$ .

$(5 x + 1) (x + 4) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 7

Imposta $5 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $5 x + 1$ uguale a $0$ .

$5 x + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $5 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 1$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{5}$

Passaggio 8

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x + 1) (x + 4) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{5}, - 4$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$

$x > - \frac{1}{5}$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$5 {(- 6)}^{2} + 25 (- 6) + 8 \leq 4 (- 6) + 4$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $38$ è maggiore del lato destro di $- 20$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - \frac{1}{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - \frac{1}{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$5 {(- 2)}^{2} + 25 (- 2) + 8 \leq 4 (- 2) + 4$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 22$ è minore del lato destro di $- 4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{1}{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{1}{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$5 {(0)}^{2} + 25 (0) + 8 \leq 4 (0) + 4$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $8$ è maggiore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$ Vero

$x > - \frac{1}{5}$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$ Vero

$x > - \frac{1}{5}$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 \leq x \leq - \frac{1}{5}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 4 \leq x \leq - \frac{1}{5}$

Notazione degli intervalli:

$[- 4, - \frac{1}{5}]$

Passaggio 14