Algebra Esempi

$\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{4}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{4}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 2, (x + 2) (x - 2)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x - 2, x + 2, x - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 2) (x + 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x - 2) (x + 2)$ ciascun termine in $\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ per $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x - 1}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(x - 1) (x + 2) = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(x - 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 2) - 1 (x + 2) = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2) = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2 = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2 = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} + 2 x - x - 2 = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$x^{2} + x - 2 = \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x - 2) (x + 2)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(x - 2) (x + 2)$ da $(x + 2) (x - 2)$ .

$x^{2} + x - 2 = \frac{4}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + x - 2 = \frac{4}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + x - 2 = 4$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - 2 - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$x^{2} + x - 6 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.6

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 2, - 3$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x - 1}{x - 2} = \frac{4}{x^{2} - 4}$ vera.

$x = - 3$