Algebra Esempi

x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 \leq 0

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 \leq 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

x + 2

$x + 2$ .

(x + 2) (x^{2} - 4) = 0

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = x

$a = x$ e

b = 2

$b = 2$ .

(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Eleva

x + 2

$x + 2$ alla potenza di

1

$1$ .

(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5.2

Eleva

x + 2

$x + 2$ alla potenza di

1

$1$ .

(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

{(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

{(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

{(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

{(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

{(x + 2)}^{2} = 0

${(x + 2)}^{2} = 0$

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta

{(x + 2)}^{2}

${(x + 2)}^{2}$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta

{(x + 2)}^{2}

${(x + 2)}^{2}$ uguale a

0

$0$ .

{(x + 2)}^{2} = 0

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

{(x + 2)}^{2} = 0

${(x + 2)}^{2} = 0$ per

x

$x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni

x + 2

$x + 2$ uguale a

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai

2

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Passaggio 5

Imposta

x - 2

$x - 2$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta

x - 2

$x - 2$ uguale a

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma

2

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

{(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ vera.

x = - 2, 2

$x = - 2, 2$

Passaggio 7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

x < - 2

$x < - 2$

- 2 < x < 2

$- 2 < x < 2$

x > 2

$x > 2$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo

x < - 2

$x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo

x < - 2

$x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = - 4

$x = - 4$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci

x

$x$ con

- 4

$- 4$ nella diseguaglianza originale.

{(- 4)}^{3} + 2 {(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 8 \leq 0

${(- 4)}^{3} + 2 {(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 8 \leq 0$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di

- 24

$- 24$ è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo

- 2 < x < 2

$- 2 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo

- 2 < x < 2

$- 2 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci

x

$x$ con

0

$0$ nella diseguaglianza originale.

{(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 8 \leq 0

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 8 \leq 0$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di

- 8

$- 8$ è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo

x > 2

$x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo

x > 2

$x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 4

$x = 4$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci

x

$x$ con

4

$4$ nella diseguaglianza originale.

{(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 8 \leq 0

${(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 8 \leq 0$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di

72

$72$ è maggiore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

x < - 2

$x < - 2$ Vero

- 2 < x < 2

$- 2 < x < 2$ Vero

x > 2

$x > 2$ Falso

x < - 2

$x < - 2$ Vero

- 2 < x < 2

$- 2 < x < 2$ Vero

x > 2

$x > 2$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

x \leq - 2

$x \leq - 2$ o

- 2 \leq x \leq 2

$- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 10

Combina gli intervalli.

x \leq 2

$x \leq 2$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

x \leq 2

$x \leq 2$

Notazione degli intervalli:

(- \infty, 2]

$(- \infty, 2]$

Passaggio 12