Algebra Esempi

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 \leq 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi.

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Passaggio 2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 2.5.1

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5.2

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Passaggio 2.5.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} + 2 {(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 8 \leq 0$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di $- 24$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 8 \leq 0$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di $- 8$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 8 \leq 0$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di $72$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 2$ o $- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 10

Combina gli intervalli.

$x \leq 2$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq 2$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2]$

Passaggio 12