Algebra Esempi

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Passaggio 1

Sostituisci $<$ con $=$ in $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Passaggio 3

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Passaggio 4

Risolvi $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.3

Espandi $(- 2 x + 9) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.4.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2 x$ e $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Passaggio 4.2

Semplifica $5 (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $5 x$ da $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Passaggio 4.4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Passaggio 4.5

Somma $- 9$ e $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Passaggio 4.6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Passaggio 4.6.1.2

Scomponi $- 2$ da $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Passaggio 4.6.1.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Passaggio 4.6.1.5

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 4.6.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 4.6.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 4.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.8

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.9

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.9.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Passaggio 5

Risolvi $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.3

Espandi $(- 2 x + 9) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.4.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2 x$ e $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica $- 5 (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $5 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Passaggio 5.3.2

Somma $11 x$ e $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Passaggio 5.4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Passaggio 5.5

Sottrai $5$ da $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Passaggio 5.6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $- 2$ da $16 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 14$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Passaggio 5.6.1.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Passaggio 5.6.1.5

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Passaggio 5.6.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Scomponi $x^{2} - 8 x + 7$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $7$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 7, - 1$

Passaggio 5.6.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.6.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.8

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 5.8.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 5.9

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.9.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 7, 1$

Passaggio 6

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 2, 1, 7, 1$

Passaggio 7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di $9$ non è minore del lato destro di $5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.5$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $x$ con $1.5$ nella diseguaglianza originale.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di $3$ non è minore del lato destro di $2.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di $3$ è minore del lato destro di $15$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 8.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Passaggio 8.4.3

Il lato sinistro di $99$ non è minore del lato destro di $45$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 7$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$2 < x < 7$

Notazione degli intervalli:

$(2, 7)$

Passaggio 11