Algebra Esempi

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Passaggio 2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica.

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ${(y - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi ${(y - x)}^{2}$ come $(y - x) (y - x)$ .

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Passaggio 4.3.1.2

Espandi $(y - x) (y - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Passaggio 4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Passaggio 4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Passaggio 4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Passaggio 4.3.1.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Passaggio 4.3.1.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Passaggio 4.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Passaggio 4.3.1.3.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.3.2

Sottrai $x y$ da $- y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.2.1

Sposta $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Passaggio 4.3.1.3.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Passaggio 5.2

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Passaggio 5.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Passaggio 5.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ e $c = y^{2} + 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.4

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5

Sia $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (y^{2} + 4)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1

Riscrivi ${(- 2 y - 4)}^{2}$ come $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.2

Espandi $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5.3.2

Somma $8 y$ e $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6

Scomponi $4$ da $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6.2

Scomponi $4$ da $16 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.8.1.1

Moltiplica $y^{2} + 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8.2

Combina i termini opposti in $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.8.2.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8.2.2

Somma $4 y + 4$ e $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8.2.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.8.2.4

Somma $4 y$ e $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.10

Riscrivi $16 y$ come ${(2^{2})}^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.10.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$