Algebra Esempi

$\frac{10}{x + 4} > 3 - x$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{10}{x + 4} - 3 > - x$

Passaggio 1.2

Aggiungi $x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{10}{x + 4} - 3 + x > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{10}{x + 4} - 3 + x$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{10}{x + 4} - 3 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + x > 0$

Passaggio 2.2

$- 3$ e $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{10}{x + 4} + \frac{- 3 (x + 4)}{x + 4} + x > 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10 - 3 (x + 4)}{x + 4} + x > 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 - 3 x - 3 \cdot 4}{x + 4} + x > 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{10 - 3 x - 12}{x + 4} + x > 0$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $12$ da $10$ .

$\frac{- 3 x - 2}{x + 4} + x > 0$

Passaggio 2.5

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{- 3 x - 2}{x + 4} + \frac{x (x + 4)}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 x - 2 + x (x + 4)}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 4}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 3 x - 2 + x^{2} + x \cdot 4}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 3 x - 2 + x^{2} + 4 \cdot x}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.7.4

Somma $- 3 x$ e $4 x$ .

$\frac{x - 2 + x^{2}}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.7.5

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 4} > 0$

Passaggio 2.7.6

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.7.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 2.7.6.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 4} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 4$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 1, - 2, - 4$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 4}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 4 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{10}{(- 6) + 4} > 3 - (- 6)$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 5$ non è maggiore del lato destro di $9$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{10}{(- 3) + 4} > 3 - (- 3)$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $10$ è maggiore del lato destro di $6$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{10}{(0) + 4} > 3 - (0)$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $2.5$ non è maggiore del lato destro di $3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{10}{(4) + 4} > 3 - (4)$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $1.25$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 < x < - 2$ o $x > 1$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 4 < x < - 2 or x > 1$

Notazione degli intervalli:

$(- 4, - 2) \cup (1, \infty)$

Passaggio 14