Algebra Esempi

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{4 x}$ come un elevamento a potenza.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $u$ a $e^{x}$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $u = u^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

Passaggio 4.2

Scomponi $3$ da $3 u^{2} - 9 u - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $3$ da $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $3$ da $- 9 u$ .

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $3$ da $- 15$ .

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Passaggio 4.2.4

Scomponi $3$ da $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Passaggio 4.2.5

Scomponi $3$ da $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Passaggio 4.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $u^{2} - 3 u - 5$ per $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Passaggio 4.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.1.3

Somma $9$ e $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 4.8

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = u^{2}$ nell'equazione risolta.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Passaggio 4.9

Risolvi la prima equazione per $u$ .

$u^{2} = 4.1925824$

Passaggio 4.10

Risolvi l'equazione per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Passaggio 4.10.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Passaggio 4.10.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Passaggio 4.10.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Passaggio 4.11

Risolvi la seconda equazione per $u$ .

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Passaggio 4.12

Risolvi l'equazione per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Rimuovi le parentesi.

$u^{2} = - 1.1925824$

Passaggio 4.12.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Passaggio 4.12.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.3.1

Riscrivi $- 1.1925824$ come $- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Passaggio 4.12.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 4.12.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 4.12.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 4.12.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 4.12.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 4.13

La soluzione di $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ è $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 5

Sostituisci $\sqrt{4.1925824}$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Passaggio 6

Risolvi $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Passaggio 6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Passaggio 6.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Passaggio 6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Passaggio 7

Sostituisci $- \sqrt{4.1925824}$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Passaggio 8

Risolvi $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Passaggio 8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Passaggio 8.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 8.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Sostituisci $i \sqrt{1.1925824}$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Passaggio 10

Risolvi $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 10.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Passaggio 10.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Passaggio 10.4

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Riscrivi $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ come $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Passaggio 10.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1.1925824}$ come ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.4.3

Espandi $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Passaggio 10.4.4

$\frac{1}{2}$ e $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Passaggio 10.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Passaggio 10.5.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.5.1.3

Riscrivi $1.1925824$ come ${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.5.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 10.5.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Passaggio 10.5.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Passaggio 10.5.1.6

Calcola l'esponente.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Passaggio 10.5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Passaggio 10.5.3

Sposta $1.09205421$ alla sinistra di $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Passaggio 11

Sostituisci $- i \sqrt{1.1925824}$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Passaggio 12

Risolvi $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Passaggio 12.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Passaggio 12.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 12.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$