Algebra Esempi

\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Passaggio 1

Aggiungi

$\sqrt{c}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{c + 9}$ come

${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica

${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi

${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ come

$(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ .

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi

$(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Riscrivi

$9$ come

$3^{2}$ .

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.7

Moltiplica

$\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.7.1

Eleva

$\sqrt{c}$ alla potenza di

$1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Passaggio 3.3.1.3.1.7.2

Eleva

$\sqrt{c}$ alla potenza di

$1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.7.3

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.7.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8

Riscrivi

${\sqrt{c}}^{2}$ come

$c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.8.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{c}$ come

$c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.8.5

Semplifica.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma

$\sqrt{3 c}$ e

$\sqrt{c \cdot 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.2.1

Riordina

$c$ e

$3$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Passaggio 3.3.1.3.2.2

Somma

$\sqrt{3 c}$ e

$\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Passaggio 4

Risolvi per

$2 \sqrt{3 c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi in modo che

$2 \sqrt{3 c}$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti

$2 \sqrt{3 c}$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai

$3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Passaggio 4.2.2

Sottrai

$c$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in

$c + 9 - 3 - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai

$c$ da

$c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Passaggio 4.2.3.2

Somma

$0$ e

$9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Passaggio 4.2.4

Sottrai

$3$ da

$9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Passaggio 5

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3 c}$ come

${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a

$3 c$ .

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Calcola l'esponente.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica

$4$ per

$3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica gli esponenti in

${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.7.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Semplifica.

$12 c < 6^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Eleva

$6$ alla potenza di

$2$ .

$12 c < 36$

Passaggio 7

Dividi per

$12$ ciascun termine in

$12 c < 36$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per

$12$ ciascun termine in

$12 c < 36$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di

$12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi

$c$ per

$1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi

$36$ per

$12$ .

$c < 3$

Passaggio 8

Trova il dominio di

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta il radicando in

$\sqrt{c + 9}$ in modo che sia maggiore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$c + 9 \geq 0$

Passaggio 8.2

Sottrai

$9$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$c \geq - 9$

Passaggio 8.3

Imposta il radicando in

$\sqrt{c}$ in modo che sia maggiore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$c \geq 0$

Passaggio 8.4

Il dominio è formato da tutti i valori di

$c$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo

$c < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo

$c < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = - 2$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci

$c$ con

$- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo

$0 < c < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo

$0 < c < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = 2$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci

$c$ con

$2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di

$1.90241122$ è maggiore del lato destro di

$1.7320508$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo

$c > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo

$c > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = 6$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci

$c$ con

$6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di

$1.4234936$ non è maggiore del lato destro di

$1.7320508$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$c < 0$ Falso

$0 < c < 3$ Vero

$c > 3$ Falso

$c < 0$ Falso

$0 < c < 3$ Vero

$c > 3$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < c < 3$

Passaggio 12