Algebra Esempi

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Passaggio 2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Passaggio 2.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Passaggio 2.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Passaggio 2.5

Riscrivi l'equazione come $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Passaggio 2.6

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Dividi $2^{y - 1}$ per $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 2.7

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Passaggio 2.8

Espandi $\ln (2^{y - 1})$ spostando $y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Passaggio 2.9

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Semplifica $(y - 1) \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Passaggio 2.9.1.2

Riscrivi $- 1 \ln (2)$ come $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Passaggio 2.10

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Passaggio 2.11

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $\ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Passaggio 2.11.2

Somma $\ln (\frac{1}{x - 2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Passaggio 2.12

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 2.12.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 2.12.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2

Somma ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Moltiplica $2^{x - 1}$ per $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4.3

Espandi $\ln (2^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4.4

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4.4.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Passaggio 4.2.5

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $0$ e $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Passaggio 4.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Passaggio 4.3.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Passaggio 4.3.4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Passaggio 4.3.4.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Passaggio 4.3.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Passaggio 4.3.4.5

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Passaggio 4.3.5

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$