Algebra Esempi

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Passaggio 2

Sostituisci $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ a $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Passaggio 6

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Passaggio 7

Scomponi $u^{2} + u - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 7.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Passaggio 9

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 10

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ .

$u + 2 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 2$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 1) (u + 2) = 0$ vera.

$u = 1, - 2$

Passaggio 12

Sostituisci $\csc (x)$ a $u$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Passaggio 13

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = 1$ .

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Passaggio 14.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (1)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $arccsc (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 14.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 14.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 14.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 14.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 14.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 14.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 14.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - 2$ .

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Passaggio 15.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 15.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 15.3

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 15.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 15.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 15.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 15.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 15.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 15.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 15.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 15.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 15.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 15.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 15.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 15.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 17

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$