Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

Passaggio 3.4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 y + 1}$ come ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica.

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ${(2 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

Passaggio 3.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 4 x^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 4 x^{2} - 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.3.1.1.2.4

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ come $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + 1}$ come ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Passaggio 5.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Passaggio 5.3.6.2

Somma $4 x^{2}$ e $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Passaggio 5.3.7

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Passaggio 5.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Passaggio 5.3.9.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$