Algebra Esempi

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Passaggio 3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Passaggio 3.1.3.4

Dividi $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.1.4

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 3.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.4.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 3.6.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 3.6.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 4

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Passaggio 4.1.3.4

Dividi $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.4

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 4.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.6

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4.8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 4.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 4.6.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 4.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 4.6.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 4.6.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 4.6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.6.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 1, - 1$

Passaggio 6

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 1, - 1$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 8