Algebra Esempi

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Passaggio 2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Passaggio 2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $32$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Passaggio 2.3.4

Scomponi $x^{2} + 4 x - 32$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 32$ e la cui somma è $4$ .

$- 4, 8$

Passaggio 2.3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Passaggio 2.3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.3.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.3.7

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.3.7.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 2.3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 8) = 0$ vera.

$x = 4, - 8$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 4 x > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + 4 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Passaggio 3.2.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Passaggio 3.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4$

Passaggio 3.2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 3.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 3.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 3.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Passaggio 3.2.8.1.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Passaggio 3.2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 4$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 3.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Passaggio 3.2.8.3.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

Passaggio 3.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 4$ o $x > 0$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Passaggio 5.2.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.2.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Passaggio 5.3.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.3.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $3.5849625$ è minore del lato destro di $5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Passaggio 5.5.3

Il lato sinistro di $5.90689059$ non è minore del lato destro di $5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 4$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < 4$

Notazione degli intervalli:

$(0, 4)$

Passaggio 8