Algebra Esempi

$f (x) = \sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{1}{9} - x^{2} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $\frac{1}{9}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} \leq \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{1}{9}$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica $\sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{9}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{9}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 2.4.2.1.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \frac{1}{| 3 |}$

Passaggio 2.4.2.1.3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$| x | \leq \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5

Scrivi $| x | \leq \frac{1}{3}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq \frac{1}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{1}{3} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.6

Trova l'intersezione di $x \leq \frac{1}{3}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

Passaggio 2.7

Risolvi $- x \leq \frac{1}{3}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \frac{1}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \frac{1}{3}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{1}{3}$ come $- \frac{1}{3}$ .

$x \geq - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - \frac{1}{3}$ e $x < 0$ .

$- \frac{1}{3} \leq x < 0$

Passaggio 2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

Notazione intensiva:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Passaggio 4

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \frac{1}{3}]$

Notazione intensiva:

${y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Passaggio 5

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Intervallo: $[0, \frac{1}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Passaggio 6