Algebra Esempi

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 6

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 2, - 3$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $192$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $32$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $- 0.0625$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $2.61224489$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 2$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < 2$

Notazione degli intervalli:

$(0, 2)$

Passaggio 14