Algebra Esempi

$x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

Passaggio 1

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x$ da $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x$ da ciascun termine nel polinomio.

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x$ dall'espressione $x^{3}$ .

$x (x^{2}) + 2 x^{2} + x$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x$ dall'espressione $2 x^{2}$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x$

Passaggio 1.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x$ dall'espressione $x$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x (1)$

Passaggio 1.2

Poiché tutti i termini condividono un fattore comune di $x$ , può essere estratto da ciascun termine.

$x (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 2

Applica la regola di Cartesio all'espressione interna $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 4

Poiché ci sono $0$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $0$ radici positive (Regola di Cartesio).

Radici positive: $0$

Passaggio 5

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 (- x) + 1$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} + 2 (- x) + 1$

Passaggio 6.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = 1 x^{2} + 2 (- x) + 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{2} + 2 (- x) + 1$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- x) = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 7

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $2 - 2$ ).

Radici negative: $2$ o $0$

Passaggio 8

Il numero di radici positive possibili è $0$ e il numero di radici negative possibili è $2$ o $0$ .

Radici positive: $0$

Radici negative: $2$ o $0$