Algebra Esempi

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{8}{x + 6}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{7}{x + 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{8}{x + 6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 5) (x + 6)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{7}{x + 5}$ per $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{8}{x + 6}$ per $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x + 6) (x + 5)$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $7$ per $6$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 8$ per $5$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.5.5

Sottrai $8 x$ da $7 x$ .

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.5.6

Sottrai $40$ da $42$ .

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 2, - 5, - 6$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 5) (x + 6) = 0$ vera.

$x = - 5, - 6$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 2.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $- 4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 5.5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 5.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 14$ è minore del lato destro di $16$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $1.4$ è maggiore del lato destro di $1.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{7}$ è minore del lato destro di $0.8$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 6 < x < - 5$ o $x \geq 2$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

Notazione degli intervalli:

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

Passaggio 14