Algebra Esempi

$\log_{5} (3 x + 2) < \log_{5} (2 x + 5)$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{5} (3 x + 2) = \log_{5} (2 x + 5)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$3 x + 2 = 2 x + 5$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x + 2 - 2 x = 5$

Passaggio 2.2.1.2

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$x + 2 = 5$

Passaggio 2.2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5 - 2$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$x = 3$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 3.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 5$

Passaggio 3.2.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 3.2.7

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 3.2.8

Trova il dominio di $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 3.2.8.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 5$

Passaggio 3.2.8.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.2.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.2.8.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.2.8.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 3.2.8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Passaggio 3.2.9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 5$

Passaggio 3.2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (- 5) + 2}{2 (- 5) + 5} > 0$

Passaggio 3.2.10.1.3

Il lato sinistro di $2.6$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (- 2) + 2}{2 (- 2) + 5} > 0$

Passaggio 3.2.10.2.3

Il lato sinistro di $- 4$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{2}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{2}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.2.10.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (0) + 2}{2 (0) + 5} > 0$

Passaggio 3.2.10.3.3

Il lato sinistro di $0.4$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{5}{2}$ Vero

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$x > - \frac{2}{3}$ Vero

$x < - \frac{5}{2}$ Vero

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$x > - \frac{2}{3}$ Vero

Passaggio 3.2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \frac{5}{2}$ o $x > - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.3

Imposta il denominatore in $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 5$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 5$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 5$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{5} (3 (- 5) + 2) < \log_{5} (2 (- 5) + 5)$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{5} (3 (- 2) + 2) < \log_{5} (2 (- 2) + 5)$

Passaggio 5.2.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.2.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{2}{3} < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{2}{3} < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{5} (3 (0) + 2) < \log_{5} (2 (0) + 5)$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $0.43067655$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{5} (3 (6) + 2) < \log_{5} (2 (6) + 5)$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $1.86135311$ non è minore del lato destro di $1.76037442$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Falso

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Passaggio 8