Algebra Esempi

$\frac{x^{4} + 0 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 0 - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Passaggio 1.2

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Passaggio 1.3

Scomponi $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

${(- 3)}^{4} - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$81 - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 1.3.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$81 - 10 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $- 10$ per $9$ .

$81 - 90 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 1.3.3.5

Sottrai $90$ da $81$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Passaggio 1.3.3.7

Somma $- 9$ e $6$ .

$- 3 + 3$

Passaggio 1.3.3.8

Somma $- 3$ e $3$ .

$0$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Passaggio 1.3.5

Dividi $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ per $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 1.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

Passaggio 1.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Passaggio 1.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Passaggio 1.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

Passaggio 1.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Passaggio 1.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Passaggio 1.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Passaggio 1.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Passaggio 1.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

$0$

Passaggio 1.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$

Passaggio 1.3.6

Scrivi $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ come insieme di fattori.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Passaggio 2.2

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ per $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$