Algebra Esempi

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $9^{x + \frac{1}{2}}$ come $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ .

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $9^{x}$ come ${(3^{2})}^{x}$ .

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi ${(3^{2})}^{x}$ come ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1.4

Sia $u = 3^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $3^{x}$ con $u$ .

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.4

Calcola l'esponente.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Passaggio 1.4.5

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Passaggio 1.5.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Passaggio 1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Passaggio 1.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Passaggio 1.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Passaggio 1.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3^{x}$ .

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $3 \cdot 3^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $3 \cdot 3^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{x}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3^{1 + x} - 1 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{1 + x} = 1$

Passaggio 3.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.4

Espandi $\ln (3^{1 + x})$ spostando $1 + x$ fuori dal logaritmo.

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.5.1

Semplifica $(1 + x) \ln (3)$ .

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Passaggio 3.2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.5.1.2

Moltiplica $\ln (3)$ per $1$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.6.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

Passaggio 3.2.7

Riordina $\ln (3)$ e $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

Passaggio 3.2.8

Sottrai $\ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (3) = - \ln (3)$

Passaggio 3.2.9

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = - \ln (3)$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.9.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = - \ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 3.2.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.9.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 3.2.9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Passaggio 3.2.9.3.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$x = - 1$

Passaggio 4

Imposta $3^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $3^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{x} = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Passaggio 4.2.5

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.5.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = 0$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 4.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.5.3.1

Dividi $0$ per $\ln (3)$ .

$x = 0$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = - 1, 0$